William Ross, University of Richmond
Para um não matemático, o fato de a letra “i” representar um número que não existe e é “imaginário” pode ser difícil de entender. Entretanto, se você abrir sua mente para essa forma de pensar, um mundo totalmente novo se torna possível.
Sou um matemático que estuda análise: uma área da matemática que lida com números complexos. Diferentemente dos números reais mais conhecidos – números inteiros positivos e negativos, frações, raízes quadradas, raízes cúbicas e até mesmo números como o “pi” – os números complexos têm um componente imaginário. Isso significa que eles são formados por números reais e pelo número imaginário i: a raiz quadrada de menos 1 (-1).
Lembre-se, a raiz quadrada de um número representa o número cujo quadrado é o número original. Um número positivo vezes ele mesmo tem como resultado um número positivo. Mas um número negativo vezes ele mesmo também é um número positivo. Assim, o número imaginário i representa um número que, de alguma forma, quando multiplicado por si mesmo, é negativo.
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Conversas sobre números imaginários com pessoas que não são matemáticas geralmente levam a objeções como: “Mas esses números não existem de verdade, não é mesmo?”. Se você é um desses céticos, não está sozinho. Mesmo alguns dos gigantes da matemática achavam os números complexos difíceis de engolir. Por exemplo, chamar -√1 de “imaginário” não está ajudando as pessoas a entenderem que ele não é fantástico. O matemático Girolamo Cardano, em seu livro de 1545 que trata de números complexos, “Ars Magna”, descartou-os como “sutis e inúteis”. Até mesmo Leonhard Euler, um dos maiores matemáticos da história, supostamente calculou √(-2) √(-3) como √6. A resposta correta é -√6.
No ensino médio, você pode ter se deparado com a fórmula quadrática, que fornece soluções para equações em que a variável desconhecida é o quadrado (equações de segundo grau). Talvez seu professor do ensino médio não quisesse lidar com a questão do que acontece quando (b2 – 4ac) – a expressão sob a raiz quadrada na fórmula quadrática – é negativa. Ele pode ter deixado isso de lado, como algo a ser tratado na faculdade.
Entretanto, se você estiver disposto a acreditar na existência de raízes quadradas de números negativos, obterá soluções para um conjunto totalmente novo de equações quadráticas. De fato, um mundo totalmente surpreendente e útil da matemática aparece: o mundo da análise complexa.
Números complexos simplificam a matemática
E o que você ganha com sua “fé” nos números complexos?
Para começar, a trigonometria se torna muito mais fácil. Em vez de memorizar várias fórmulas complicadas de trigonometria, você precisa de apenas uma equação para governar todas elas: fórmula de Euler de 1740. Com habilidades decentes de álgebra, você pode manipular a fórmula de Euler para ver que a maioria das fórmulas trigonométricas padrão usadas para medir o comprimento ou o ângulo de um triângulo se torna muito fácil.
O cálculo também se torna mais fácil. Como observaram os matemáticos Roger Cotes, René Descartes – que cunhou o termo “número imaginário” – e outros, os números complexos facilitam a solução de integrais aparentemente impossíveis e a medição da área sob curvas complexas.
Os números complexos também desempenham um papel importante na compreensão de todas as figuras geométricas possíveis que podem ser construídas com uma régua e um compasso. Conforme observado pelos matemáticos Jean-Robert Argand e Carl Friedrich Gauss, você pode usar números complexos para manipular figuras geométricas como pentágonos e octógonos.
Análise complexa no mundo real
A análise complexa tem muitas aplicações no mundo real.
A ideia do matemático Rafael Bombelli de realizar operações algébricas como adição, subtração, multiplicação e divisão em números complexos torna possível usá-los no cálculo.
A partir daí, muito do que os cientistas usam na física para estudar sinais – ou transmissão de dados – torna-se mais gerenciável e compreensível. Por exemplo, a análise complexa é usada para manipular wavelets, ou pequenas oscilações nos dados. Elas são essenciais para remover o ruído em um sinal distorcido de um satélite, bem como comprimir imagens para um armazenamento de dados mais eficiente.
A análise complexa permite que os engenheiros transformem um problema complicado em um problema mais fácil. Portanto, ela também é uma ferramenta importante em muitos tópicos de física aplicada, como o estudo das propriedades elétricas e de fluidos de estruturas complicadas.
Quando se sentiram mais à vontade com os números complexos, matemáticos famosos como Karl Weierstrass, Augustin-Louis Cauchy e Bernhard Riemann e outros conseguiram desenvolver a análise complexa, criando uma ferramenta útil que não apenas simplifica a matemática e avança a ciência, mas também a torna mais compreensível.
William Ross, Professor of Mathematics, University of Richmond
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